Вопросы к зачету по высшей математике, ПГС, 1 курс.

(Обязательная программа.)

1.        Свободные векторы. Умножение вектора на число. Сумма векторов. Свойства.

2.        Коллинеарные и компланарные векторы. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам (доказать). Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам. Определение координат вектора.

3.        Прямоугольные координаты вектора. Сложение векторов и умножение вектора на число в координатной форме.

4.        Скалярное произведение. Свойства (доказать одно). Вычисление в координатной форме.

5.        Векторное произведение. Свойства (доказать одно). Вычисление в координатной форме.

6.        Смешанное произведение. Свойства (доказать одно). Вычисление в координатной форме.

7.        Общее уравнение прямой на плоскости. Теорема. Угловой коэффициент. Уравнения прямой по точке и угловому коэффициенту (вывод).

8.        Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

9.        Общее уравнение плоскости. Теорема. Вывод уравнения плоскости по точке и нормальному вектору.

10.        Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).

11.        Прямая как линия пересечения плоскостей. Канонические и параметрические уравнения прямой (с выводом).

12.        Матрицы. Сложение и вычитание, умножение на число. Умножение матриц.

13.        Обратная матрица (определение). Формула обратной матрицы.

14.        Формулы Крамера.        

15.        Матричная форма системы линейных уравнений. Формула решения с помощью обратной матрицы.

16.        Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Теорема о ранге матриц.

17.        Теорема Кронекера-Капелли.

Вопросы к зачету по высшей математике, ПГС, 1 курс.

1. Векторы. Сложение и вычитание, умножение на число. Свойства.
2. Коллинеарные и компланарные векторы. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису (доказать для плоскости).
3. Проекция вектора на ось (на вектор). Свойства. Вычисление.
4. Координаты вектора. Сложение и вычитание, умножение на число в координатной форме.
5. Скалярное произведение. Свойства (доказать одно). Вычисление в координатной форме.        
6. Векторное произведение. Свойства (доказать одно). Вычисление в координатной форме.
7. Смешанное произведение. Свойства (доказать одно). Вычисление в координатной форме.
8. Общее уравнение прямой на плоскости, угловой коэффициент. Вывод уравнения прямой по точке и направляющему вектору.
9. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности  и перпендикулярности прямых.
10. Уравнения прямой по точке и угловому коэффициенту и по двум точкам (с выводом).
11. Общее уравнение плоскости. Вывод уравнения плоскости по точке и нормальному вектору.
12. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).
13. Общие уравнения прямой в пространстве. Канонические и параметрические  уравнения прямой (с выводом).
14. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве (вывод).
15. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (вывод).
16. Матрицы. Сложение и вычитание, умножение на число. Умножение матриц.
17. Обратная матрица (определение). Формула обратной матрицы.
18. Формулы Крамера.
19. Матричная форма системы линейных уравнений. Формула решения с помощью обратной матрицы.
20. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Теорема о ранге матриц.
21. Теорема Кронекера-Капелли.

Экзаменационные вопросы

Для 1 курса (1 семестра) дневного отделения

2006-2007 учебного года.

1. Определение предела функции y=f(x) при . Геометрическая интерполяция.
2. Определение бесконечно малой величины при .  Геометрическая интерполяция. Свойства бесконечно малых (с доказательством одного из свойств).
3. Определение бесконечно большой величины при . Геометрическая интерполяция. Доказательство теоремы о связи бесконечно большой и бесконечно малой.
4. Теорема о разности между функцией и её пределом.
5. Определение предела функции y=f(x) при . Геометрическая интерполяция.
6. Теоремы о пределах: предел суммы, произведения, частного двух функций, имеющих предел (с доказательством одной из теорем).
7. Сравнение бесконечно малых. Символ "о" - малое. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых величинах (с доказательством одной из теорем).
8. Первый замечательный предел (с доказательством).
9. Второй замечательный предел (формулировка, схема доказательства), примеры. Доказать, что при  бесконечно малые  будут эквивалентны.
10. Понятие о приращении функции y=f(x). Непрерывная функция /// точке. Точки разрыва функции и их классификация.
11. Два определения непрерывной функции в точке, их равносильность.
12. Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций(с доказательством одной из теорем).
13. Сложная функция. Непрерывность сложной функции.
14. Определение производной функции  y=f(x) и её геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой  y=f(x) (с выводом).
15. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного  (с выводом одного из них).
16. Вывод формул для производных тригонометрических функций
17. Вывод формул для производных  функций .
18. Понятие об обратной функции. Теорема о дифференцировании взаимообратных функций.
19. Вывод формул для производных функций y=arksinx, y=arktgx.
20. Сложная функция. Производная сложной функции.
21. Параметрическое задание функции. Доказательство теоремы о производной функции, заданной параметрически.
22. Связь между существованием производной и непрерывностью функции y=f(x) в точке (с доказательством). Привести пример непрерывной функции, не имеющей производной в некоторой точке.
23. Определение дифференцируемой функции y=f(x) в точке. Определение дифференциала df(x). Геометрический смысл дифференциала df(x).
24. Теорема Ферма, геометрическая интерпретация.
25. Теорема Ролля, геометрическая интерпретация.
26. Теорема Лагранжа,  геометрическая интерпретация.
27. Определение функции y=f(x) возрастающей и убывающей в интервале. Доказательство признака убывания функции в интервале (в программе минимум только формулировка).
28. Доказательство достаточного признака возрастания функции в интервале (в программе минимум только формулировка).
29. Определение точки максимума и точки минимума функции y=f(x). Доказательство необходимого признака экстремума функции y=f(x). (в программе минимум только формулировка).
30. Доказательство первого достаточного признака экстремума функции y=f(x). (в программе минимум только формулировка).
31. Второй достаточный признак экстремума функции y=f(x). (формула).
32. Определение выпуклости вверх и вниз графика функции в интервале. Достаточный признак выпуклости вверх (вниз).
33. Определение точки перегиба. Необходимый признак точки перегиба.
34. Асимптоты графика функции y=f(x).Нахождение вертикальных и наклонных асимптот (условия существования асимптот).
35. Достаточный признак точки перегиба.

Экзаменационные вопросы

Для 1 курса (2 семестра) дневного отделения

1997-1989 учебного года.

1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенней интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла (с доказательством одного из них).
2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определенного интеграла по отрезку.
3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (с выводом).
4. Основные свойства определенного интеграла по отрезку (с доказательством одного из них).
5. Теорема об оценке определенного интеграла по отрезку, доказательство, геометрический смысл.
6. Теорема о среднем значении функции на отрезке, доказательство, геометрический смысл.
7. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (с доказательством).
8. Частные приращения функции. Частные производные (определение и их геометрический смысл).
9. Полное приращение функции . Непрерывность функции  в точке (определение).
10. Непрерывность функции в замкнутой ограниченной области. Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной области (формулировка).
11. Понятие сложной функции нескольких независимых переменных. Дифференцирование сложной функции (с выводом).
12. Определение дифференцируемой функции  в точке. Определение полного дифференциала .
13. Связь между дифференцируемостью функции  и непрерывностью функции  в точке (с доказательством).
14. Связь между дифференцируемостью функции и существованием частных производных в точке (с доказательством).
15. Достаточное условие дифференцируемости функции  (формулировка).
16. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение). Теорема о существовании касательной плоскости (с доказательством).
17. Полный дифференциал функции (определение и его геометрический смысл с обоснованием).
18. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (с обоснованием).
19. Определение точки максимума и точки минимума функции Необходимый признак существования экстремума функции  (с доказательством).
20. Достаточный признак существования экстремума функции.(Формулировка).
21. Производная функции  по направлению (определение и вывод формулы для вычисления).
22. Градиент функции  в точке (определение). Связь между производной по направлению и градиентом функции (с обоснованием).                       
23. Определение дифференциального уравнения, его порядка, решения. Задача Коши для уравнения  и ее геометрическая интерпретация. Общее и частное решение уравнения 1 -го порядка.
24. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения  (формулировка). Геометрическая интерпретация теоремы Коши.
25. Метод интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными и однородных уравнений.
26. Метод интегрирования линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.
27. Метод интегрирования уравнения Бернулли.
28. Поле направлений, определяемое уравнением . Изоклины. Метод Эйлера  приближенного решения задачи Коши для уравнения вида у - f(x,y).
29. Уравнения высших порядков. Задача Коши для уравнения  и ее геометрическая интерпретация. Общее и частное решения дифференциального уравнения второго порядка.   
30. Метод понижения порядка для решения уравнений вида и .
31. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.
32. Линейная зависимость и независимость системы функций. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Определение. Определитель Вронского.
33. Свойство решений Л. О. Д. У.
34. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (с доказательством).
35. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка (с доказательством).
36. Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений и общее решение в случае различных действительных корней характеристического уравнения (с доказательством).
37. Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений и общее решение в случае кратных действительных корней характеристического уравнения (с доказательством).
38. Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений и общее решение в случае комплексных корней характеристического уравнения (с доказательством).
39. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных (с доказательством).
40. Линейная зависимость и независимость системы функций на интервале. Определитель Вронского и его связь с линейной независимостью системы решений линейного однородного дифференциального уравнения (с доказательством).

 Вопросы к коллоквиуму

по теме «Функции нескольких переменных»

1. Числовая функция n-переменных (определение). Область определения, область значений. График. Предел функции z=f(x,y) при.
2. Частные приращения функции, полное приращение функции двух переменных ( определение и геометрическая иллюстрация). Частные производные, их геометрический смысл.
3. Непрерывность функции  z=f(x,y) в точке. Непрерывность функции в области (открытой и замкнутой). Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.
4. Дифференцируемость функции двух переменных (определение). Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.
5. Связь между дифференцируемостью функции двух переменных  и существованием частных производных. Достаточные условия дифференцируемости.
6. Полный дифференциал, его геометрический смысл.
7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (z=f(x,y)  и F=f(x y z)=0).
8. Сложная функция двух переменных, ее дифференцирование.
9. Неявная функция двух переменных, ее дифференцирование.
10. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных частных производных.
11. Экстремум функции двух переменных (определение). Необходимые условия экстремума.
12. Критические точки. Достаточные условия экстремума.
13. Производная по направлению (определение). Теорема о производной функции по направлению. Следствие.
14. Градиент. Связь градиента функции z=f(x,y)  с линиями уровня.